כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
מרחבים וקטוריים\fbox{\thepage}
1 התחלה
1.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 1.1. מרחב וקטורי (להלן גם: מ"ו) מעל לשדה \(\MKfield\) הוא קבוצה \(V\) (שאיבריה נקראים וקטורים) בעלת איבר אחד לפחות שיקרא "וקטור האפס" (יסומן ב-\(0_{V}\) ב-\(\vec{0}\) או פשוט ב-\(0\)) שעליה מוגדרת פעולה דו-מקומית הנקראת "חיבור וקטורי" (תסומן ב-"\(+\)") ובנוסף קיימת פעולה דו-מקומית הנקראת "כפל בסקלר" (תסומן ב-"\(\cdot\)") מ-\(\MKfield\times V\) ל-\(V\) כך שמתקיימות8התכונות הבאות (נקראות גם "אקסיומות המרחב הווקטורי"):
\(a\cdot\left(b\cdot v\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot v\)1נשים לב שבאגף שמאל שתי פעולות הכפל הן כפל וקטור בסקלר בעוד שבאגף ימין פעולת הכפל השמאלית מתבצעת בשדה.
קיום איבר אדיש (ניטרלי)
\(v+0_{V}=v\)
\(1\cdot v=v\)
קיום איבר נגדי
\(\exists x\in V:v+x=0_{V}\)
ראה הערה2.
פילוג (דיסטריבוטיביות) ביחס לחיבור וקטורי
\(a\cdot\left(v+w\right)=\left(a\cdot v\right)+\left(a\cdot w\right)\)2ישנה מוסכמה שמצעים כפל לפני חיבור ולכן באגף ימין ניתן היה לכתוב \(a\cdot\left(v+w\right)=a\cdot v+a\cdot w\)
פילוג (דיסטריבוטיביות) ביחס לחיבור בשדה
\(\left(a+b\right)\cdot v=\left(a\cdot v\right)+\left(b\cdot v\right)\)3נשים לב שהחיבור באגף שמאל הוא חיבור בשדה ואילו החיבור באגף ימין הוא חיבור וקטורי.
הערות:
אין צורך בחילוף משום שהסקלר נמצא תמיד משמאל לווקטור (ניתן כמובן לאפשר שיבוא מימין ואז לדרוש חילוף).
לא שייך לדבר על איבר הופכי משום שהווקטור והסקלר באים (בד"כ) מקבוצות שונות.
מהחילוף נובע שלכל \(v\in V\) מתקיים גם \(0_{V}+v=v\) ושקיים \(x\in V\) כך ש-\(x+v=0_{V}\).
נשים לב שלגבי החיבור הווקטורי דרשנו את כל הדרישות שדרשנו מחיבור בשדה ולכן ניתן "לייבא" טענות משם לכאן, בפרט לכל \(v\in V\) קיים נגדי יחיד ומוצדק לתת לו סימון \(-v\).
כמו בשדה גם במרחב וקטורי החיסור יוגדר כחיבור הנגדי.
\(\clubsuit\)
החילוף של החיבור הווקטורי נובע מהתכונות האחרות, לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*}
v+v+w+w & =1\cdot v+1\cdot v+1\cdot w+1\cdot w=\left(1+1\right)\cdot v+\left(1+1\right)\cdot w\\
& =1\cdot v+w+1\cdot v+w=v+w+v+w
\end{align*}\]כעת נחבר לשני האגפים את \(-v\) משמאל ו-\(-w\) מימין ומהקיבוץ של החיבור הווקטורי נקבל שמתקיים \(v+w=w+v\). למרות זאת זוהי ההגדרה המקובלת, אך יותר מזה: אני לא דוגל בשיטה של "בואו נניח כמה שפחות ונרוויח כמה שיותר", מבחינתי אם המהות של המרחב הווקטורי דורשת שהחיבור הווקטורי יהיה חילופי (וזה אכן המצב) אז ראוי שההגדרה תכלול את התכונה הזו גם אם ניתן להסיק אותה מן האחרות.
סימון:
יהי \(V\) מרחב וקטורי מעל לשדה \(\MKfield\), לכל \(v\in V\) ולכל \(0\neq a\in\MKfield\) נסמן:\[
\frac{v}{a}:=\frac{1}{a}\cdot v
\]
תזכורת:
לכל קבוצה \(A\) ולכל \(n\in\MKnatural\) הגדרנו\[
A^{n}:=\underset{\text{n פעמים}}{\underbrace{A\times A\times\ldots\times A}}=\left\{ \left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\mid\forall n\geq i\in\MKnatural:a_{i}\in A\right\}
\]כלומר \(A^{n}\) היא קבוצת הסדרות באורך \(n\) (נקראות גם: \(n\)-יות) שכל איבריהן ב-\(A\).
סימון:
עד כה סימנו סדרות כך: \(\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\), באלגברה ליניארית נוהגים לסמן גם \(\begin{pmatrix}a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{pmatrix}\) ו-\(\begin{bmatrix}a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{bmatrix}\) - אלו סימונים שקולים.
סימון:
נכתוב את ה-\(n\)-יות ב-\(\MKfield^{n}\) גם בצורה אנכית, נסמן אותן באותיות קטנות ואת האיבר בכל קואורדינטה/אינדקס נסמן ע"י אותה אות קטנה עם האינדקס המתאים; כך יסומן האיבר ה-\(i\) ב-\(n\)-יה \(x\in\MKfield^{n}\) ע"י \(x_{i}\)4פעמים רבות יהיו אלה דווקא וקטורים ממוספרים ולא קואורדינטות של וקטור יחיד - אנו נאמר בפירוש שמדובר בווקטורים כשנעבוד כך, אך גם אם נשכח לעשות יהיה הדבר ברור מן ההקשר, ובנוסף הדבר יקרה כמעט תמיד עם האותיות \(v\), \(w\) ו-\(u\) )כלומר \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\) הם וקטורים בעוד ש-\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\) הן קואורדינטות של וקטור \(x\)(., כלומר (לכל \(x\in\MKfield^{n}\)):\[
\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}:=\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{pmatrix}:=\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right):=x
\]
\(\clubsuit\)
בקובץ ההקדמה לקורס פירטתי את האינטואיציה הגאומטרית של הפעולות הללו כאשר \(\MKfield=\MKreal\) ו-\(n=2\) או \(n=3\).
\(\clubsuit\)
ישנו איזומורפיזם ברור מאד בין \(\MKfield^{1}\) ל-\(\MKfield\) - נעתיק כל איבר בשדה לסדרה באורך \(1\) המכילה אותו, א"כ כל שדה הוא מרחב וקטורי מעל עצמו.
\(\clubsuit\)
בפרט ניתן היה להחליף בדוגמה הקודמת את \(\MKnatural\) ב-\(\MKinteger\) ולקבל את מרחב הסדרות האין-סופיות לשני הכיוונים.
\(\clubsuit\)
א"כ \(\MKfield\) הוא מרחב וקטורי מעל כל תת-שדה שלו.
\(\clubsuit\)
יש לשים לב שכעת הסקלר בו אנו מכפילים את הווקטורים מגיע כעת מתת-השדה ולא מכל השדה, לדוגמה \(\MKreal^{n}\) הוא מ"ו מעל \(\MKrational\) אך \(\MKrational^{n}\) אינו מ"ו מעל \(\MKreal\) מפני שהרי \(\sqrt{2}\cdot\begin{bmatrix}1\\
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}\notin\MKrational^{n}\).
\(\clubsuit\)
ישנם שני תתי-מרחבים טריוויאליים: \(V\) הוא תמ"ו של עצמו ו-\(\left\{ 0_{V}\right\} \) גם הוא תמ"ו של \(V\).
\(\clubsuit\)
ניתן היה להחליף את התכונה הראשונה בכך ש-\(W\neq\emptyset\): הנחנו ש-\(W\neq\emptyset\) נוכל לומר "יהי \(w\in W\)", מהתכונה השלישית נובע שגם \(-w=-1\cdot w\in W\) ולכן מהתכונה השנייה נקבל שגם \(0_{V}=w-w\in W\). ע"פ הפילוסופיה של "בואו נניח כמה שפחות ונרוויח כמה שיותר" זוהי הגדרה טובה יותר אך אני לא מאמין בפילוסופיה הזאת, מבחינתי המהות של תת-מרחב וקטורי היא שהוא מרחב וקטורי בפני עצמו (נראה זאת מיד) ומכיוון שהקיום של וקטור האפס הוא חלק מן המהות של מרחב וקטורי איני מוכן שלא יופיע בהגדרה.
\(\clubsuit\)
מסקנה זו היא המוטיבציה להגדרת תת-מרחב וקטורי.
סימון:
פעמים רבות מקצרים וכותבים "\(W\leq V\)" במקום "\(W\subseteq V\) הוא תמ"ו של \(V\)", אני כמעט לא אשתמש בסימון הזה בסיכומים אלו.
\(\clubsuit\)
הסימון הזה הוא סימון כללי במתמטיקה לתת-קבוצה המקיימת את התכונות של הקבוצה הגדולה יותר.
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שיש כאן כמה אפשרויות:
\(X\) יכולה להיות סופית ואז קיימים תתי-מרחבים וקטוריים \(W_{1},W_{2},\ldots,W_{r}\subseteq V\) כך ש-\(X=\left\{ W_{1},W_{2},\ldots,W_{r}\right\} \), ואז החיתוך של כל תתי-המרחבים בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{W\in X}W=\bigcap_{i=1}^{r}W_{i}
\]
\(X\) יכולה להיות אין-סופית בת-מנייה, כלומר ניתן לסדר את איבריה בסדרה אינסופית: \(X=\left\{ W_{1},W_{2},\ldots\right\} \) ואז החיתוך של כל תתי-המרחבים בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{W\in X}W=\bigcap_{i=1}^{\infty}W_{i}
\]
\(X\) יכולה להיות אין-סופית שאינה בת-מנייה, כלומר א"א לסדר את איבריה בסדרה אינסופית, ואז החיתוך של כל תתי-המרחבים בה הוא הקבוצה:\[
\bigcap_{W\in X}W
\]
בכל מקרה החיתוך של כל תתי-המרחבים ב-\(X\) הוא הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
v & \forall W\in X:v\in W\end{array}\right\}
\]
להלן כמה דוגמאות למרחבים וקטוריים מעל השדה \(\MKfield\).
דוגמה 1.2. מרחב הקואורדינטות\(\MKfield^{n}\) עם פעולות החיבור הווקטורי והכפל בסקלר המוגדרות רכיב רכיב - לכל \(x,y\in\MKfield^{n}\) ולכל \(a\in\MKfield\) נגדיר את החיבור הווקטורי והכפל בסקלר ע"י:\[\begin{align*}
x+y & :=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}x_{1}+y_{1}\\
x_{2}+y_{2}\\
\vdots\\
x_{n}+y_{n}
\end{bmatrix}\\
a\cdot x & :=a\cdot\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}a\cdot x_{1}\\
a\cdot x_{2}\\
\vdots\\
a\cdot x_{n}
\end{bmatrix}
\end{align*}\]
דוגמה 1.3. מרחב הקואורדינטות האין-סופי\(\MKfield^{\MKnatural}\)5כזכור הגדרנו את \(B^{A}\) בתור קבוצת הפונקציות מ-\(A\) ל-\(B\), א"כ \(\MKfield^{\MKnatural}\) היא קבוצת הפונקציות מ-\(\MKnatural\) ל-\(\MKfield\) כלומר קבוצת הסדרות האין-סופיות שאיבריהן ב-\(\MKfield\). עם פעולות החיבור הווקטורי והכפל בסקלר המוגדרות אינדקס אינדקס כבדוגמה הקודמת הוא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\).
דוגמה 1.4. תהא \(A\) קבוצה, מרחב הפונקציות\(\MKfield^{A}\) עם פעולות החיבור והכפל שלו6לכל \(f,g:A\rightarrow\MKfield\) הגדרנו את \(f+g\) ע"י \(\left(f+g\right)\left(x\right):=f\left(x\right)+g\left(x\right)\) (לכל \(x\in\MKfield\)), ולכל \(f:A\rightarrow\MKfield\) ו-\(c\in\MKfield\) הגדרנו את \(c\cdot f\) ע"י \(\left(c\cdot f\right)\left(x\right):=c\cdot f\left(x\right)\). הוא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\).
דוגמה 1.5. קבוצת הפולינומים בעלי מקדמים ב-\(\MKfield\) היא מרחב וקטורי מעליו. על מרחב זה כתבתי קובץ מפורט בשם "פולינומים על" המופיע באתר שלי במשבצת של הנושאים הבסיסיים., קובץ זה כולל נושאים נוספים ששייכים לליניארית2, הפרקים השייכים לקורס זה הם הראשון והרביעי.
דוגמה 1.6. יהי \(V\) מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\), \(V\) הוא מרחב וקטורי מעל כל תת-שדה של \(\MKfield\) עם אותן פעולות חיבור וכפל.
דוגמה 1.7. יהיו \(V_{1},V_{2},\ldots,V_{n}\) מרחבים וקטוריים מעל \(\MKfield\), הקבוצה \(V_{1}\times V_{2}\times\ldots\times V_{n}\) עם פעולות החיבור הווקטורי והכפל בסקלר המוגדרות רכיב רכיב:\[\begin{align*}
\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)+\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\right) & =\left(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},\ldots,v_{n}+w_{n}\right)\\
a\cdot\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) & =\left(a\cdot v_{1},a\cdot v_{2},\ldots,a\cdot v_{n}\right)
\end{align*}\]היא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\).
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\MKfield\).
הגדרה 1.8. תת-קבוצה \(W\subseteq V\) תקרא תת-מרחב וקטורי (להלן גם: תמ"ו) או פשוט תת-מרחב אם מתקיימות שלוש התכונות הבאות:
\(0_{V}\in W\)
\(W\) סגורה לחיבור הווקטורי: לכל \(w_{1},w_{2}\in W\) מתקיים \(w_{1}+w_{2}\in W\)
\(W\) סגורה לכפל בסקלר: לכל \(w\in W\) ולכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(a\cdot w\in W\)
מסקנה 1.9. יהי \(W\subseteq V\) תת-מרחב וקטורי, \(W\) הוא מ"ו בפני עצמו מעל לאותו שדה עם אותן פעולות חיבור וקטורי וכפל בסקלר של \(V\).
\(\:\)
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
משפט 1.10. תכונות בסיסיות של מ"ו
יחידות האיבר האדיש לחיבור - יהיו \(v,w\in V\), אם \(v+w=v\) אז \(w=0_{V}\).
יחידות הנגדי - יהיו \(v,w,u\in V\), אם \(v+w=0_{V}\) וגם \(v+u=0_{V}\) אז \(w=u\).
כפל בסקלר "אפס" - לכל \(v\in V\) מתקיים \(0\cdot v=0_{V}\).
כפל בווקטור האפס - לכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(a\cdot0_{V}=0_{V}\).
כפל בסקלר "\(-1\)" - לכל \(v\in V\) מתקיים \(\left(-1\right)\cdot v=-v\).
הוכחה. \(\:\)
נניח ש-\(v+w=v\) ויהי \(x\in V\) כך ש-\(x+v=0_{V}\) (קיום הנגדי), מכאן שמתקיים:\[
0_{V}=x+v=x+\left(v+w\right)=\left(x+v\right)+w=0_{V}+w=w
\]
נניח ש-\(v+w=0_{V}\) וגם \(v+u=0_{V}\), מכאן ש-\(u+v=0_{V}\) וממילא גם:\[
u=u+0_{V}=u+\left(v+w\right)=\left(u+v\right)+w=0_{V}+w=w
\]
לכל \(v\in V\) מתקיים \(0\cdot v=\left(0+0\right)\cdot v=0\cdot v+0\cdot v\) ומכאן שגם:\[
0_{V}=-\left(0\cdot v\right)+0\cdot v=-\left(0\cdot v\right)+\left(0\cdot v+0\cdot v\right)=\left(-\left(0\cdot v\right)+0\cdot v\right)+0\cdot v=0_{V}+0\cdot v=0\cdot v
\]
לכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(a\cdot0_{V}=a\cdot\left(0_{V}+0_{V}\right)=a\cdot0_{V}+a\cdot0_{V}\) ומכאן שגם:\[
0_{V}=-\left(a\cdot0_{V}\right)+a\cdot0_{V}=-\left(a\cdot0_{V}\right)+\left(a\cdot0_{V}+a\cdot0_{V}\right)=\left(-\left(a\cdot0_{V}\right)+a\cdot0_{V}\right)+a\cdot0_{V}=0_{V}+a\cdot0_{V}=a\cdot0_{V}
\]
לכל \(v\in V\) מתקיים \(0_{V}=0\cdot v=\left(1-1\right)\cdot v=1\cdot v+\left(-1\right)\cdot v=v+\left(-1\right)\cdot v\), מיחידות הנגדי נובע ש-\(-v=\left(-1\right)\cdot v\).
טענה 1.11. יהיו \(v\in V\) ו-\(a\in\MKfield\), מתקיים \(a\cdot v=0_{V}\) אם"ם \(v=0_{V}\) ו/או \(a=0\).
הוכחה. את הגרירה משמאל לימין כבר הוכחנו בסעיפים3ו-4של המשפט הקודם (1.1), נוכיח כעת את הכיוון ההפוך. נניח ש-\(v\neq0_{V}\) וגם \(a\neq0\), מכאן שמתקיים:\[
a^{-1}\cdot\left(a\cdot v\right)=\left(a^{-1}\cdot a\right)\cdot v=1\cdot v=v\neq0_{V}
\]ומכאן ש-\(a\cdot v\neq0_{V}\) (סעיף4במשפט הנ"ל), כלומר אם \(a\cdot v=0_{V}\) אז \(v=0_{V}\) ו/או \(a=0\).
טענה 1.12. תהא \(X\) קבוצת תתי-מרחבים וקטוריים של \(V\), החיתוך של כל תתי-המרחבים ב-\(X\) הוא תת-מרחב של \(V\).
הוכחה. נסמן:\[
U:=\bigcap_{W\in X}W
\]ונעבור על שלוש התכונות כדי להוכיח ש-\(U\) הוא תמ"ו.
לכל \(W\in X\) מתקיים \(0_{V}\in W\) ולכן מתקיים גם \(0_{V}\in U\).
יהיו \(u_{1},u_{2}\in U\), מכאן ש-\(u_{1},u_{2}\in W\) לכל \(W\in X\); כל \(W\in X\) הוא תמ"ו ולכן לכל \(W\in X\) מתקיים \(u_{1}+u_{2}\in W\) וממילא גם \(u_{1}+u_{2}\in U\).
יהי \(u\in U\), מכאן ש-\(u\in W\) לכל \(W\in X\) ולכן מהעובדה שכל \(W\in X\) הוא תמ"ו נובע ש-\(a\cdot u\in W\) לכל \(a\in\MKfield\) וממילא גם \(a\cdot u\in U\) לכל \(a\in\MKfield\).
הוכחה. \(u_{1}\), \(u_{2}\) ו-\(u\) הנ"ל היו שרירותיים ולכן הנ"ל נכון לכל זוג וקטורים / וקטור יחיד ב-\(U\), כלומר \(U\) הוא תמ"ו.
2 תלות ליניארית ופרישה
2.1 הגדרות
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 2.1. פרוש
תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה, הפרוש של \(S\) הוא חיתוך של כל תתי-המרחבים הווקטוריים שמכילים את \(S\), נסמן אותו ב-\(\MKspan S\) או ב-\(\left\langle S\right\rangle \).
תהא \(\left(v_{i}\right)_{i=1}^{n}=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים ב-\(V\) (\(v_{i}\in V\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)) הפרוש של \(\left(v_{i}\right)_{i=1}^{n}\) הוא הפרוש קבוצת איבריה:\[
\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right):=\MKspan\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right\}
\]
\(\clubsuit\)
בניגוד לסדרה \(\left(v_{i}\right)_{i=1}^{n}\) הקבוצה \(S\) יכולה להיות אין-סופית, אמנם ניתן היה להגדיר פרוש גם עבור סדרות אין-סופיות אך אנו לא נעסוק בסדרות כאלה בקורס זה והכללה זו תסרבל את הכתיבה.
\(\clubsuit\)
מסקנה זו היא המוטיבציה להגדרת פרוש, זהו התמ"ו הקטן ביותר שמכיל את \(S\).
\(\clubsuit\)
כמובן ששלושת הפסוקים הללו מתקיימים גם עבור סדרות ב-\(V\).
\(\clubsuit\)
שימו לב להבדל בין ההגדרה של צר"ל עבור קבוצה לבין ההגדרה עבור סדרה סופית: בהגדרה עבור סדרה סופית דרשנו שכל הווקטורים ישתתפו בסכימה, כמובן שאפשר לכפול וקטורים לא רצויים באפס ובכך להוציא אותם מהסכימה, אך להבדל הזה תהיה משמעות בהמשך.
\(\clubsuit\)
הסכום הנ"ל יכול להיות ריק ואז הוא שווה לאיבר האדיש לחיבור שהוא \(0_{V}\), א"כ לקבוצה הריקה יש צר"ל יחיד שהוא סכום ריק השווה לווקטור האפס7תודה לנאוה מקונט על הבנה זו..
\(\clubsuit\)
ראינו בקובץ הטענות שקבוצת הצר"ל של \(S\) היא בדיוק \(\MKspan S\) ולכן ההגדרה של קבוצה תלויה ליניארית שקולה לכך שקיים \(v\in S\) כך ש-\(v\in\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\).
\(\clubsuit\)
בניגוד לקבוצה, בסדרה איבר יכול להופיע פעמיים ולכן ע"פ ההגדרה כל סדרה כזו היא תלויה ליניארית, מכאן שאם קבוצת האיברים של סדרה היא קבוצה תלויה ליניארית אז גם הסדרה תלויה ליניארית אך הכיוון ההפוך אינו נכון.
\(\clubsuit\)
הקבוצה \(\left\{ 0_{V}\right\} \) נחשבת תלויה ליניארית משום ש-\(0_{V}\) הוא ערכו של סכום ריק, כלומר קיים צר"ל של הקבוצה הריקה השווה ל-\(0_{V}\); לעומת זאת הקבוצה הריקה נחשבת בלתי תלויה ליניארית משום שלא קיים בה וקטור הניתן להצגה כצר"ל של האחרים (לא קיים בה וקטור בכלל).
\(\clubsuit\)
כפי שראינו \(\MKspan S\) הוא תמ"ו וכל תמ"ו הוא מ"ו בפני עצמו, א"כ כל קבוצה פורשת את הפרוש שלה.
\(\clubsuit\)
שימו לב שוב לכך ש-\(S\) אינה מוכרחת להיות סופית.
\(\clubsuit\)
אם \(S\) היא הקבוצה הריקה אז קבוצת הצר"ל שלה היא מרחב האפס.
\(\clubsuit\)
כשלמדנו על וקטורים בתיכון ראינו שניתן לאפיין ישר ע"י נקודה שעליו ווקטור יחיד הקובע את כיוונו של הישר, כל נקודה אחרת על הישר ניתנת לביטוי בתור אותה נקודה ועוד סקלר כפול אותו וקטור, כך למשל הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{bmatrix}0\\
0
\end{bmatrix}+x\cdot\begin{bmatrix}1\\
0
\end{bmatrix} & x\in\MKreal\end{array}\right\}
\]היא ציר ה-\(x\) במישור; ראינו גם שניתן לאפיין כל מישור על נקודה שעליו ועוד צר"ל של שני וקטורים, כך הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{bmatrix}0\\
0\\
0
\end{bmatrix}+x\cdot\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix}+y\cdot\begin{bmatrix}0\\
1\\
0
\end{bmatrix} & x,y\in\MKreal\end{array}\right\}
\]היא המישור הנפרש ע"י צירי ה-\(x\) וה-\(y\) יחדיו. כדי שישר או מישור כזה יהיו תתי-מרחבים וקטוריים הם מוכרחים להכיל את וקטור האפס ולכן נוח יותר לייצג אותם כקבוצת צר"ל בלבד ללא הוספת וקטור האפס בתחילה, א"כ כל קבוצת צר"ל כנ"ל היא כעין ישר או מישור במרחב שבו היא נמצאת, אין הבדל מהותי בשאלה אם יש בצר"ל שני וקטורים או עשרה.
\(\clubsuit\)
מכאן שאם קבוצה/סדרה פורשת את המרחב כולו אז ניתן להציג כל וקטור במרחב כצר"ל שלה.
\(\clubsuit\)
מסקנה זו היא הסיבה לשם "פרוש" - הפרוש של קבוצה/סדרה הוא התמ"ו הנפרש8בעברית התנ"כית יש הבדל בכתיבה בין "לפרוש מפה", "לפרוש כנפיים" לבין "לפרוס לחם"; לדוגמה "וּפָרְשׂוּ עָלָיו בֶּגֶד אַרְגָּמָן" (במדבר, ד', י"ג) ו-"יִפְרֹשׂ כְּנָפָיו יִקָּחֵהוּ" (דברים, ל"ב, י"ג), ומצד שני "הֲלוֹא פָרֹס לָרָעֵב לַחְמֶךָ" (ישעיהו, נ"ח, ז') ו-"וְלֹא יִפְרְסוּ לָהֶם... וְלֹא יַשְׁקוּ אוֹתָם כּוֹס תַּנְחוּמִים" (ירמיהו, ט"ז, י"ז). ע"י איבריה ממש כפי שמישור נפרש ע"י שני וקטורים במרחב.
\(\clubsuit\)
מכאן שכדי להוכיח שקבוצה/סדרה אינה תלויה ליניארית נוכל להוכיח שהצר"ל המתאפס היחיד שלה הוא הטריוויאלי.
\(\clubsuit\)
מכאן שכדי להוכיח שקבוצה/סדרה אינה תלויה ליניארית נוכל להוכיח שהצר"ל המתאפס היחיד שלה הוא הטריוויאלי.
מסקנה 2.2. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
\(\MKspan S\) הוא תמ"ו של \(V\).
\(S\subseteq\MKspan S\).
לכל תמ"ו \(W\subseteq V\) המקיים \(S\subseteq W\) מתקיים \(\MKspan S\subseteq W\).
הגדרה 2.3. צירוף ליניארי
תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה, צירוף ליניארי (להלן גם: צר"ל) של \(S\) הוא ביטוי מהצורה:\[
\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=a_{1}\cdot v_{1}+a_{2}\cdot v_{2}+\ldots+a_{n}\cdot v_{n}
\]כאשר \(a_{i}\in\MKfield\) ו-\(v_{i}\in S\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
תהא \(\left(w_{i}\right)_{i=1}^{n}=\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\right)\) סדרת וקטורים ב-\(V\), צירוף ליניארי (להלן גם: צר"ל) של \(\left(w_{i}\right)_{i=1}^{n}\) הוא ביטוי מהצורה:\[
\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}
\]כאשר \(a_{i}\in\MKfield\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
הגדרה 2.4. תלות ליניארית
תת-קבוצה \(S\subseteq V\) תקרא תלויה ליניארית (להלן גם: ת"ל) אם קיים \(v\in S\) כך שקיים צר"ל של איברי \(S\setminus\left\{ v\right\} \) השווה ל-\(v\), אחרת תקרא בלתי תלויה ליניארית (להלן גם: בת"ל).
סדרת וקטורים \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) ב-\(V\) תקרא תלויה ליניארית (להלן גם: ת"ל) אם קיים \(n\geq k\in\MKnatural\) כך שקיים צר"ל של הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k-1},v_{k+1},\ldots,v_{n}\right)\) השווה ל-\(v_{k}\), אחרת תקרא בלתי תלויה ליניארית (להלן גם: בת"ל).
הגדרה 2.5. פרישה
נאמר שתת-קבוצה \(S\subseteq V\)פורשת או יוצרת את \(V\) (או שהיא קבוצה פורשת/יוצרת של \(V\)) אם \(\MKspan S=V\).
נאמר שסדרת וקטורים \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) ב-\(V\)פורשת את \(V\) (או שהיא סדרה פורשת של \(V\)) אם \(\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=V\).
הגדרה 2.6. צר"ל של קבוצה/סדרה ייקרא מתאפס אם הוא שווה ל-\(0_{V}\) וייקרא טריוויאלי אם כל הסקלרים שבו הם אפסים (משום שאז מובן מאליו שהוא שווה לווקטור האפס).
תהיינה \(S,T\subseteq V\) תתי-קבוצות כך ש-\(S\subseteq T\), מתקיים \(\MKspan S\subseteq\MKspan T\).
הוכחה. \(\:\)
מהגדרה \(W\subseteq W\) ולכן מהיותו תמ"ו \(W\) מופיע בחיתוך המהווה את \(\MKspan W\), א"כ \(\MKspan W\subseteq W\); מצד שני ראינו כבר בקובץ ההגדרות שמהגדרת הפרוש נובע ש-\(W\subseteq\MKspan W\) ולכן נסיק מכאן ש-\(\MKspan W=W\).
\(\MKspan\left(\emptyset\right)\) הוא תמ"ו וככזה הוא מקיים \(\left\{ 0_{V}\right\} \subseteq\MKspan\left(\emptyset\right)\), מצד שני \(\emptyset\subseteq\left\{ 0_{V}\right\} \) ולכן \(\left\{ 0_{V}\right\} \) מופיע בחיתוך המהווה את \(\MKspan\left(\emptyset\right)\), כלומר \(\MKspan\left(\emptyset\right)\subseteq\left\{ 0_{V}\right\} \) וממילא \(\MKspan\left(\emptyset\right)=\left\{ 0_{V}\right\} \).
כפי שראינו בקובץ ההגדרות מתקיים \(T\subseteq\MKspan T\) ולכן גם \(S\subseteq\MKspan T\), א"כ מהיות \(\MKspan T\) תמ"ו נובע שהוא מופיע בחיתוך המהווה את \(\MKspan S\), כלומר \(\MKspan S\subseteq\MKspan T\).
טענה 2.8. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו ויהיו \(v_{1},...,v_{n}\in W\), לכל \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\in\MKfield\) מתקיים \(a_{1}\cdot v_{1}+a_{2}\cdot v_{2}+\ldots+a_{n}\cdot v_{n}\in W\).
טענה 2.9. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה, הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\end{alignedat}
& n\in\MKnatural,\ \forall n\geq i\in\MKnatural:a_{i}\in\MKfield\land v_{i}\in S\end{array}\right\}
\](שהיא אוסף כל הצר"ל של איברי \(S\)) היא תמ"ו של \(V\).
הוכחה. נסמן ב-\(W\) את הקבוצה הנ"ל ונעבור על שלוש התכונות הנדרשות לתמ"ו:
אם \(S=\emptyset\) אז מהגדרת סכום ריק מתקיים \(W=\left\{ 0_{V}\right\} \) , אחרת לכל \(v\in V\) מתקיים מהגדרה \(0_{V}=0\cdot v\in W\) (זהו צר"ל עם איבר אחד).
הסכום של שני צר"ל הוא צר"ל בעצמו ולכן \(W\) סגורה לחיבור.
לכל \(v\in W\) מתקיים מהגדרה \(a\cdot v\in W\) (זהו צר"ל עם איבר אחד), כלומר \(W\) סגורה לכפל בסקלר.
תהא \(\left(v_{i}\right)_{i=1}^{n}\) סדרת וקטורים סופית ב-\(V\) מתקיים:\[
\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\end{alignedat}
& \forall n\geq i\in\MKnatural:a_{i}\in\MKfield\end{array}\right\}
\]
מסקנה 2.11. תת-קבוצה \(S\subseteq V\) היא תלויה ליניארית אם"ם קיים \(v\in S\) כך ש-\(v\in\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\).
טענה 2.12. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה.
אם \(0_{V}\in S\) אז \(S\) תלויה ליניארית (אפילו אם \(S=\left\{ 0_{V}\right\} \)9נזכיר: מקובל להגדיר סכום ריק כאפס של החיבור המדובר (במקרה שלנו זהו וקטור האפס) ולכן ניתן לבטא את וקטור האפס באמצעות צר"ל של הקבוצה הריקה.).
אם \(S\) היא יחידון והיא תלויה ליניארית אז \(S=\left\{ 0_{V}\right\} \).
תהא \(T\subseteq V\) כך ש-\(S\subseteq T\),
אם \(S\) תלויה ליניארית אז גם \(T\) תלויה ליניארית.
אם \(T\) בת"ל אז גם \(S\) בת"ל.
מסקנה 2.13. \(\:\)
כל סדרה המכילה את וקטור האפס היא סדרה תלויה ליניארית.
אם סדרה תלויה ליניארית היא באורך \(1\) אז היא הסדרה \(\left(0_{V}\right)\).
אם סדרה אחת מכילה את כל האיברים של סדרה אחרת וזו הראשונה תלויה ליניארית אז גם השנייה התלויה ליניארית.
טענה 2.14. יהיו \(v,w\in V\) אם הקבוצה \(\left\{ v,w\right\} \) ו/או הסדרה \(\left(v,w\right)\) תלויות ליניארית וגם \(v\neq0_{V}\) אז קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(c\cdot v=w\).
טענה 2.15. קבוצת וקטורים ב-\(V\) היא תלויה ליניארית אם"ם יש לה צר"ל מתאפס לא טריוויאלי של וקטורים שונים זה מזה.
הוכחה. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה.
\(\Leftarrow\) נניח ש-\(S\) תלויה ליניארית, א"כ יהיו \(v\in S\), \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in S\setminus\left\{ v\right\} \) וקטורים שונים זה מזה ו-\(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
v=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}
\]\[
\Rightarrow0_{V}=-v+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=\left(-1\right)\cdot v+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}
\]הביטוי שבאגף ימין הוא צר"ל לא טריוויאלי של \(S\).
\(\Rightarrow\) נניח שקיים צר"ל לא טריוויאלי מתאפס של \(S\), א"כ יהיו \(w_{1},w_{2},\ldots,w_{m}\in S\) וקטורים שונים זה מזה ו-\(b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
0_{V}=\sum_{i=1}^{m}b_{i}\cdot w_{i}
\]וקיים \(m\geq k\in\MKnatural\) כך ש-\(b_{k}\neq0\), יהי \(k\in\MKnatural\) כנ"ל.\[\begin{align*}
\Rightarrow b_{k}\cdot w_{k} & =\sum_{i=1}^{k-1}\left(-b_{i}\right)\cdot w_{i}+\sum_{i=k+1}^{m}\left(-b_{i}\right)\cdot w_{i}\\
\Rightarrow w_{k} & =\sum_{i=1}^{k-1}-\frac{b_{i}}{b_{k}}\cdot w_{i}+\sum_{i=k+1}^{m}-\frac{b_{i}}{b_{k}}\cdot w_{i}
\end{align*}\]א"כ ניתן להציג את \(w_{k}\) כצר"ל של איברי \(S\setminus\left\{ w_{k}\right\} \) ומהגדרה \(S\) תלויה ליניארית.
מסקנה 2.16. סדרת וקטורים סופית ב-\(V\) היא תלויה ליניארית אם"ם יש לה צר"ל מתאפס לא טריוויאלי.
הוכחה. לכל סדרת וקטורים סופית ב-\(V\): אם מופיע בה איבר פעמיים אז היא תלויה ליניארית ויש לה צר"ל מתאפס - נכפול את אותו איבר פעם ב-\(1\) ופעם ב-\(-1\) ואת כל שאר הווקטורים נכפול ב-\(0\), ואם לא מופיע בה איבר פעמיים אז כל צר"ל שלה הוא גם צר"ל שלה הוא גם צר"ל של וקטורים שונים בקבוצת איבריה ולכן מהטענה הקודמת (2.9) היא תלויה ליניארית אם"ם יש לה צר"ל מתאפס לא טריוויאלי.
טענה 2.17. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה בת"ל, אם קיים \(v\in V\) כך ש-\(v\notin\MKspan S\) אז עבור אותו \(v\) מתקיים גם ש-\(S\cup\left\{ v\right\} \) בת"ל.
הוכחה. נניח שקיים \(v\in V\) כך ש-\(v\notin\MKspan S\) ויהי \(v\) כנ"ל. יהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in S\) וקטורים שונים זה מזה ויהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},a\in\MKfield\) כך מתקיים:\[
a\cdot v+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=0_{V}
\]אם \(a\) היה שונה מ-\(0\) אז היינו מקבלים שניתן להציג את \(v\) כצר"ל של \(S\)10נעביר את \(a\cdot v\) אגף ונחלק ב-\(-a\). בסתירה להגדרתו, מכאן ש-\(a=0\) וממילא:\[
\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=a\cdot v+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=0_{V}
\]מטענה 2.9 נובע ש-\(a_{i}=0\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\), א"כ הוכחנו שהצר"ל המתאפס היחיד של וקטורים שונים ב-\(S\cup\left\{ v\right\} \) הוא הטריוויאלי ומכאן ש-\(S\cup\left\{ v\right\} \) בת"ל.
טענה 2.18. תהא \(S\subseteq V\), אם קיים \(v\in S\) כך ש-\(v\in\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\) אז עבור אותו \(v\) מתקיים גם \(\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)=\MKspan S\).
הוכחה. נניח שקיים \(v\in S\) כך ש-\(v\in\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\) ויהי \(v\) כנ"ל. מהגדרה \(S\setminus\left\{ v\right\} \subseteq S\) ולכן ממשפט 2.1 נובע ש-\(\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\subseteq\MKspan S\), נוכיח את ההכלה בכיוון השני. יהי \(w\in\MKspan S\), ממסקנה 2.4 נובע שניתן להציג את \(w\) כצר"ל של \(S\) ואת \(v\) כצר"ל של \(S\setminus\left\{ v\right\} \), אם קיים צר"ל כזה ש-\(v\) אינו מופיע בו אז \(w\) ניתן להצגה כצר"ל של \(S\setminus\left\{ v\right\} \) ולכן ע"פ אותה מסקנה \(w\in\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\); אחרת יהיו \(v\neq w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in S\) ו-\(a,a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
w=a\cdot v+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}
\]ויהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{m}\in S\setminus\left\{ v\right\} \) ו-\(b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
v=\sum_{j=1}^{m}b_{j}\cdot v_{j}
\]\[
\Rightarrow w=a\cdot\sum_{j=1}^{m}b_{j}\cdot v_{j}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}=\sum_{j=1}^{m}\left(a\cdot b_{j}\right)\cdot v_{j}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}
\]אגף שמאל הוא צר"ל של \(S\setminus\left\{ v\right\} \) ולכן שוב מאותה מסקנה נקבל ש-\(w\in\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\). \(w\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל מתקיים לכל \(w\in\MKspan S\) ומהגדרה \(\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\supseteq\MKspan S\) ומכאן ש-\(\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)=\MKspan S\).
3 בסיסים וממדים
3.1 הגדרות
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 3.1. נאמר ש-\(V\)נוצר סופית (להלן גם: נ"ס) אם יש לו קבוצה/סדרה סופית11כולל הקבוצה הריקה והסדרה הריקה, כלומר גם מרחב האפס הוא מרחב נ"ס. פורשת.
הגדרה 3.2. בסיס
נאמר שתת-קבוצה \(S\subseteq V\) היא בסיס של \(V\) אם היא בת"ל ופורשת את \(V\).
נאמר שסדרת וקטורים \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) ב-\(V\) היא בסיס (להלן גם: בסיס סדור) של \(V\) אם היא בת"ל ופורשת את \(V\).
\(\clubsuit\)
בקובץ הטענות אנחנו נראה שאם \(V\) נ"ס אז יש לו בסיסים וכל שני בסיסים הם בהכרח סופיים ובאותו הגודל, לכן מוצדק לדבר על הגודל הזה כתכונה של \(V\) ולתת לו שם.
\(\clubsuit\)
עם קצת אינטואיציה לגאומטריה אוקלידית במרחב ניתן לראות שנקודה אחת מגדירה רק את עצמה, שתי נקודות שונות מגדירות ישר, שלוש נקודות שונות שאינן נמצאות על אותו הישר (לא תלויות ליניארית!) מגדירות מישור וארבע נקודות שאינן נמצאות על מישור אחד כבר פורשות את המרחב התלת-ממדי כולו. מכיוון שאנחנו דורשים שכל תמ"ו יכיל את וקטור האפס כבר יש לנו נקודה אחת ולכן כל וקטור שונה מאפס פורש ישר וכל שני וקטורים שאינם תלויים ליניארית פורשים מישור ושלושה כאלה כבר פורשים את המרחב התלת-ממדי כולו. זו הסיבה לכך שאנו אומרים שהממד של נקודה הוא \(0\) או שהיא חסרת ממדים, שישר הוא מממד \(1\), הממד של המישור הוא \(2\) והמרחב התלת-ממדי נקרא כך מפני שממדו הוא \(3\).
\(\clubsuit\)
נחזור לרגע אל הדוגמאות שהבאנו בתחילת הקובץ:
\(\MKfield^{n}\) הוא מרחב וקטורי נ"ס מעל \(\MKfield\) ומתקיים \(\dim\MKfield^{n}=n\).
הקבוצה הריקה היא בסיס של מרחב האפס ולכן \(\dim\left\{ 0_{V}\right\} =\left|\emptyset\right|=0\).
אם הקבוצה \(A\) אין-סופית אז המרחב \(\MKfield^{A}\) אינו נוצר סופית, בפרט מרחב הקואורדינטות האין-סופי (\(\MKfield^{\MKnatural}\)) אינו נוצר סופית.
הממד של \(\MKcomplex\), כמרחב וקטורי מעל \(\MKreal\), הוא \(2\).
\(\MKreal\), כמרחב וקטורי מעל \(\MKrational\), אינו נוצר סופית.
\(\clubsuit\)
בפרק זה נעסוק בעיקר בקבוצות אך כל הטענות תהיינה תקפות גם עבור סדרות וקטורים ב-\(V\).
\(\clubsuit\)
ההוכחה של משפט זה נותנת לנו גם את הכלים למצוא בסיסים כאלה (ראו להלן), כלומר אנחנו יכולים לדלל כל קבוצה פורשת לבסיס ולהרחיב כל קבוצה בת"ל לבסיס.
\(\clubsuit\)
בפרט לכל מרחב וקטורי נוצר סופית יש בסיס וע"פ מסקנה 3.2 כל בסיס כזה הוא סופי.
\(\clubsuit\)
מכאן שגם קבוצת וקטורים היא בסיס אם"ם כל וקטור במרחב ניתן להצגה כצר"ל שלה באופן יחיד.
\(\clubsuit\)
כלומר בסיס הוא קבוצה בלתי תלויה מקסימלית - אם מוסיפים לה עוד וקטור אחד היא הופכת לתלויה ליניארית, וכמו כן בסיס הוא קבוצה פורשת מינימלית - אם מסירים ממנה ולו וקטור אחד היא כבר לא פורשת את \(V\).
\(\clubsuit\)
כלומר כל הבסיסים של \(V\) הם באותו הגודל ולכן ניתן לדבר על גודל זה כתכונה של \(V\), לתת לו שם - הממד של \(V\) - ולסמן אותו ב-\(\dim V\).
\(\clubsuit\)
בפרט אם \(\left|S\right|=\dim V\) ובנוסף ידוע ש-\(S\) בת"ל או פורשת אז \(S\) בסיס (כלומר בת"ל וגם פורשת).
נניח ש-\(V\) נ"ס.
הגדרה 3.3. נסמן ב-\(\dim V\) את גודל הבסיסים של \(V\) ונקרא לגודל זה הממד של \(V\).
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל לשדה \(\MKfield\).
משפט 3.4. למת ההחלפה של שטייניץ (Steinitz)12ערך בוויקיפדיה האנגלית: Ernst Steinitz. תהיינה \(S,T\subseteq V\) תתי-קבוצות סופיות כך ש-\(S\) פורשת את \(V\) ו-\(T\) בת"ל, מתקיימים שני הפסוקים הבאים13למעשה הפסוק הראשון נובע משני שכן \(0\leq\left|S'\right|\), למרות זאת הבאנו אותו בנפרד כדי להדגיש שכל קבוצה פורשת גדולה מכל קבוצה בת"ל.:
\(\left|S\right|\geq\left|T\right|\).
קיימת תת-קבוצה \(S'\subseteq S\) כך ש-\(\left|S'\right|=\left|S\right|-\left|T\right|\) ו-\(V=\MKspan\left(T\cup S'\right)\).
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה על הגודל של \(T\).
הוכחה. בסיס האינדוקציה אם \(\left|T\right|=0\) אז \(T=\emptyset\) אז מהגדרה מתקיים \(\left|T\right|=0\leq\left|S\right|\) ו-\(S\) עצמה מקיימת \(\left|S\right|=\left|S\right|-0=\left|S\right|-\left|T\right|\). צעד האינדוקציה נניח ש-\(\left|T\right|>0\), נסמן \(n:=\left|S\right|\) ו-\(m:=\left|T\right|\), ונניח שהמשפט מתקיים לכל תת-קבוצה בת"ל שגודלה הוא \(m-1\). יהיו \(w_{1},w_{2},\ldots,w_{m}\) כל הווקטורים ב-\(T\) ונסמן \(T_{0}:=T\setminus\left\{ w_{m}\right\} \), מכאן ש-\(\left|T_{0}\right|=m-1\) ולכן ע"פ הנחת האינדוקציה קיימת \(S_{0}\subseteq S\) כך ש-\(V=\MKspan\left(T_{0}\cup S_{0}\right)\) ובנוסף:\[
\left|S'\right|=\left|S\right|-\left|T'\right|=n-\left(m-1\right)=n-m+1
\]תהא \(S_{0}\) כנ"ל ויהיו \(v_{m},v_{m+1},\ldots,v_{n}\) כל הווקטורים ב-\(S_{0}\)14נשים לב לכך ש-\(S_{0}\) יכולה להיות ריקה, זה לא ישפיע על מהלך ההוכחה ומאוחר יותר אנחנו נראה ש-\(S_{0}\) בהכרח אינה ריקה.. הקבוצה \(T_{0}\cup S_{0}=\left\{ w_{1},w_{2},\ldots,w_{m-1},v_{m},v_{m+1},\ldots,v_{n}\right\} \) פורשת את \(V\), ולכן ניתן להציג את \(w_{m}\) כצר"ל של איבריה, א"כ יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
w_{m}=\sum_{i=1}^{m-1}a_{i}\cdot w_{i}+\sum_{i=m}^{n}a_{i}\cdot v_{i}
\]ולכן גם:\[
1\cdot w_{m}+\sum_{i=1}^{m-1}\left(-a_{i}\right)\cdot w_{i}=\sum_{i=m}^{n}a_{i}\cdot v_{i}
\]אגף שמאל הוא צר"ל לא טריוויאלי של איברי \(T\) ולכן מהעובדה ש-\(T\) בת"ל נובע כי:\[
\sum_{i=m}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\neq0_{V}
\]בפרט זהו סכום שאינו ריק ולכן בהכרח \(\left|S\right|=n\geq m=\left|T\right|\) ובכך הוכחנו את הסעיף הראשון במשפט. בנוסף, נובע מזה שקיים \(j\in\MKnatural\) כך ש-\(m\leq j\leq n\) ו-\(a_{j}\neq0\), נניח בהג"כ שאותו \(j\) הוא \(m\). א"כ מתקיים:\[
v_{m}=\frac{1}{a_{m}}\cdot w+\sum_{i=1}^{m-1}-\frac{a_{i}}{a_{m}}\cdot w_{i}+\sum_{i=m+1}^{n}-\frac{a_{i}}{a_{m}}\cdot v_{i}
\]\[
\Rightarrow v_{m}\in\MKspan\left\{ w_{1},w_{2},\ldots,w_{m},v_{m+1},v_{m+2},\ldots,v_{n}\right\}
\]נגדיר \(S':=\left\{ v_{m+1},v_{m+2},\ldots,v_{n}\right\} \), מהגדרה \(S'\) מקיימת \(\left|S'\right|=n-m=\left|S\right|-\left|T\right|\) ובנוסף:\[
T_{0}\cup S_{0}=\left\{ w_{1},w_{2},\ldots,w_{m-1},v_{m},v_{m+1},\ldots,v_{n}\right\} \subseteq\MKspan\left\{ w_{1},w_{2},\ldots,w_{m},v_{m+1},v_{m+2},\ldots,v_{n}\right\} =\MKspan\left(T\cup S'\right)
\]ולכן \(V=\MKspan\left(T_{0}\cup S_{0}\right)\subseteq\MKspan\left(T\cup S'\right)\) וממילא \(V=\MKspan\left(T\cup S'\right)\).
מסקנה 3.5. כל תת-קבוצה אין-סופית של \(V\) היא קבוצה תלויה ליניארית.
משפט 3.6. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה סופית.
אם \(S\) פורשת את \(V\) אז קיימת תת-קבוצה \(\MKclb\subseteq S\) המהווה בסיס של \(V\).
אם \(S\) בת"ל אז קיימת תת-קבוצה \(\MKclb\subseteq V\) המהווה בסיס של \(V\) כך ש-\(S\subseteq\MKclb\).
הוכחה. \(\:\)
נניח ש-\(S\) פורשת את \(V\), מטענה 2.12 וממסקנה 2.5 נובע שכל עוד \(S\) תלויה ליניארית נוכל לגרוע ממנה וקטורים בזה אחר זה תוך שמירה על הפרוש שלה, התהליך הזה מוכרח להסתיים בשלב כלשהו מפני ש-\(S\) סופית, א"כ לאחר שנסיים את התהליך נקבל תת-קבוצה \(\MKclb\subseteq S\) כך ש-\(\MKspan\MKclb=\MKspan S=V\) ו-\(\MKclb\) בת"ל, כלומר \(\MKclb\) בסיס.
נניח ש-\(S\) בת"ל ותהא \(T\subseteq V\) תת-קבוצה סופית הפורשת את \(V\). מטענה 2.11 נובע שכל עוד קיים \(v\in V\) כך ש-\(v\notin\MKspan S\) נוכל להוסיף ל-\(S\) וקטורים כך שתישאר בת"ל, התהליך הזה מוכרח להיעצר מפני שע"פ למת ההחלפה ברגע שהגודל של \(S\) (לאחר הוספת הווקטורים) יעבור את \(\left|T\right|\) - \(S\) תהיה תלויה ליניארית. נסמן \(k:=\left|T\right|-\left|S\right|\) (ע"פ למת ההחלפה \(k\geq0\)) ומכאן שקיימים \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\in V\) כך ש-\(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\notin\MKspan S\) ו-\(S\cup\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right\} \) בת"ל, ובנוסף לא קיים \(v\in V\) כך שמתקיים:\[
v\notin\MKspan\left(S\cup\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right\} \right)
\]כלומר \(V\subseteq\MKspan\left(S\cup\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right\} \right)\) וממילא \(V=\MKspan\left(S\cup\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right\} \right)\), כלומר \(S\cup\left\{ v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right\} \) בת"ל ופורשת את \(V\) ולכן גם בסיס.
משפט 3.7. תהא \(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים ב-\(V\), \(\MKclb\) הוא בסיס של \(V\) אם"ם לכל \(v\in V\) קיימים סקלרים \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) יחידים כך שמתקיים:\[
v=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}
\]כלומר ניתן להציג כל וקטור במרחב כצר"ל של בסיס סדור במרחב באופן יחיד.
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח ש-\(\MKclb\) הוא בסיס של \(V\) ויהי \(v\in V\), מהעובדה ש-\(\MKclb\) פורש את \(V\) נובע ש-\(v\in\MKspan\MKclb\) ולכן ע"פ מסקנה 2.4 ניתן להציג את \(v\) כצר"ל של \(\MKclb\), א"כ נותר להוכיח את היחידות של הצגה זו. יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots a_{n},b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
v=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=v=\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}
\]\[
\Rightarrow0_{V}=v-v=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}-\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)\cdot v_{i}
\]מהעובדה ש-\(\MKclb\) בת"ל ומטענה 2.10 נובע ש-\(a_{i}-b_{i}=0\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\), כלומר \(a_{i}=b_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
\(\Rightarrow\) נניח שלכל וקטור ב-\(V\) קיים צר"ל יחיד של \(\MKclb\) השווה לאותו וקטור, ראשית נשים לב לכך שמהקיום של צר"ל כזה לכל וקטור וממסקנה 2.4 נובע ש-\(\MKclb\) פורש את \(V\), בנוסף היחידות מתקיימת בפרט עבור \(0_{V}\) - כלומר הצר"ל המתאפס היחיד של \(\MKclb\) הוא הטריוויאלי ולכן \(\MKclb\) בת"ל.
משפט 3.8. יהי \(\MKclb\) בסיס של \(V\) ותהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה סופית.
אם \(\left|S\right|>\left|\MKclb\right|\) אז \(S\) תלויה ליניארית.
אם \(\left|S\right|<\left|\MKclb\right|\) אז \(S\) אינה פורשת את \(V\).
הוכחה. המשפט נובע ישירות מלמת ההחלפה:
מהיותו בסיס \(\MKclb\) פורש את \(V\) ולכן אם \(S\) הייתה בת"ל היה מתקיים \(\left|\MKclb\right|\geq\left|S\right|\), מכאן שאם \(\left|S\right|>\left|\MKclb\right|\) אז \(S\) תלויה ליניארית.
מהיות \(\MKclb\) בסיס נובע ש-\(\MKclb\) בת"ל ולכן אם \(S\) הייתה קבוצה פורשת של \(V\) היה מתקיים \(\left|S\right|\geq\left|\MKclb\right|\), מכאן שאם \(\left|S\right|<\left|\MKclb\right|\) אז \(S\) אינה פורשת את \(V\).
מסקנה 3.9. יהיו \(\MKclb,\MKclc\subseteq V\) בסיסים של \(V\), מתקיים \(\left|\MKclb\right|=\left|\MKclc\right|\).
אם \(\left|S\right|>\dim V\) אז \(S\) תלויה ליניארית.
אם \(\left|S\right|<\dim V\) אז \(S\) אינה פורשת את \(V\).
משפט 3.11. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה סופית, כל שניים משלושת הפסוקים הבאים גוררים את השלישי:
\(S\) פורשת את \(V\)
\(S\) בת"ל
\(\left|S\right|=\dim V\)
הוכחה. \(\:\)
1ו-2גוררים את3מהגדרת בסיס וממד.
נניח ש-\(S\) פורשת ו-\(\left|S\right|=\dim V\), כפי שכבר ראינו מטענה 2.12 וממסקנה 2.5 נובע שכל עוד \(S\) תלויה ליניארית קיים \(v\in S\) כך ש-\(\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)=\MKspan S=V\), מצד שני ממסקנה 3.7 נובע שלכל \(v\in V\) מתקיים \(\MKspan\left(S\setminus\left\{ v\right\} \right)\neq V\) ולכן \(S\) מוכרחה להיות בת"ל (1ו-3גוררים את2).
נניח ש-\(S\) בת"ל ו-\(\left|S\right|=\dim V\), כפי שכבר ראינו מטענה 2.11 נובע שכל עוד \(\MKspan S\neq V\) קיים \(v\in V\) כך ש-\(v\notin\MKspan S\) (ובפרט \(v\notin S\)) כך ש-\(S\cup\left\{ v\right\} \) בת"ל, מצד שני ע"פ מסקנה 3.7 לכל \(v\in V\) כך ש-\(v\notin S\) הקבוצה \(S\cup\left\{ v\right\} \) תלויה ליניארית ולכן בהכרח מתקיים \(\MKspan S=V\), כלומר \(S\) פורשת את \(V\) (2ו-3גוררים את1).
טענה 3.12. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, גם \(W\) הוא מרחב וקטורי נוצר סופית.
הוכחה. מלמת ההחלפה נובע שקיים גודל מרבי לקבוצות בת"ל המוכלות ב-\(W\) (בפרט כל קבוצה בת"ל ב-\(W\) היא קבוצה סופית), א"כ תהא \(S\subseteq W\) קבוצה בת"ל בעלת גודל מרבי, כלומר לכל \(T\subseteq W\) כך ש-\(T\) בת"ל מתקיים \(\left|T\right|\leq\left|S\right|\). מטענה 2.11 נובע שאם \(\MKspan S\neq W\) אז קיים \(w\in W\) כך ש-\(w\notin\MKspan S\) (ובפרט \(w\notin S\)) כך ש-\(S\cup\left\{ w\right\} \) בת"ל, אבל מהגדרת \(S\) לכל \(w\in E\) כך ש-\(w\notin S\) הקבוצה \(S\cup\left\{ w\right\} \) תלויה ליניארית. מכאן ש-\(\MKspan S=W\), כלומר \(S\) פורשת את \(W\) ומהגדרה \(W\) נ"ס.
מסקנה 3.13. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, מתקיים \(\dim W\leq\dim V\) ובמקרה של שוויון (\(\dim W=\dim V\)) מתקיים \(W=V\).
הוכחה. יהי \(\MKclb\) בסיס של \(W\), מהגדרה \(\MKclb\) בת"ל ולכן ממשפט 3.3 נובע שקיים בסיס \(\MKclc\) של \(V\) כך ש-\(\MKclb\subseteq\MKclc\) וממילא מתקיים \(\dim W=\left|\MKclb\right|\leq\left|\MKclc\right|=\dim V\).
4 חיבור קבוצות במרחב וקטורי
4.1 הגדרות
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
תזכורת:
כמו עבור כל פעולה גם עבור החיבור הווקטורי אנו מגדירים \(S+T:=\left\{ s+t\mid s\in S,\ t\in T\right\} \) לכל \(S,T\subseteq V\).
\(\clubsuit\)
נשים לב שאותו \(v\) מקיים \(v\in S\) שכן מהיות \(W\) תמ"ו נובע ש-\(0_{V}\in W\).
\(\clubsuit\)
במרחב התלת-ממדי ישריות הן נקודות, ישרים ומישורים שאינם עוברים בהכרח בראשית הצירים: אנו לוקחים את \(W\) ומזיזים כל נקודה בו ע"פ הווקטור \(v\).
\(\clubsuit\)
מהגדרה לכל \(s\in S\) קיים \(w\in W\) יחיד כך ש-\(s=v+w\).
\(\clubsuit\)
א"כ לכל ישריה קיים תמ"ו יחיד המקיים את ההגדרה עבורה, מסיבה זו מוצדק לתת לו שם.
הגדרה 4.1. סכום ישר נאמר שסדרת תתי-מרחבים \(\left(V_{1},V_{2},\ldots,V_{n}\right)\) של מ"ו \(V\) היא בת"ל אם כל סדרת וקטורים \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) כך ש-\(0_{V}\neq v_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) היא סדרה בת"ל. נאמר שסדרה כזו היא סכום ישר של \(V\) אם היא בת"ל ומתקיים \(V=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}\), במקרה כזה נסמן:\[
V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\ldots\oplus V_{n}=\bigoplus_{i=1}^{n}V_{i}
\]
הגדרה 4.2. שני תתי-מרחבים \(U,W\subseteq V\) ייקראו משלימים (זה את זה) אם \(V=W\oplus U\).
הגדרה 4.3. קבוצה \(S\subseteq V\) תקרא ישריה(יִשְרִיָּה) אם קיימים תמ"ו \(W\subseteq V\) ו-\(v\in V\) כך ש-\(S=\left\{ v\right\} +W\).
מסקנה 4.4. תהיינה \(S_{1},S_{2}\subseteq V\) ישריות, גם \(S_{1}+S_{2}\) היא ישריה.
טענה. תהא \(S\subseteq V\) ישריה ויהיו \(W,U\subseteq V\) תמ"וים ו-\(v_{1},v_{2}\) כך ש-\(S=\left\{ v_{1}\right\} +W\) וגם \(S=\left\{ v_{2}\right\} +U\), מתקיים \(W=U\).
הגדרה 4.5. תהא \(S\subseteq V\) ישריה ויהיו \(W\subseteq V\) תמ"ו ו-\(v\in V\) כך ש-\(S=\left\{ v\right\} +W\), \(W\) זה יקרא מרחב הכיוונים של \(S\).
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
4.2 סכומים של תתי-מרחבים וקטוריים
טענה 4.6. לכל \(S,T\subseteq V\) מתקיים \(\MKspan S+\MKspan T=\MKspan\left(S\cup T\right)\).
הוכחה. תהיינה \(S,T\subseteq V\), לכל \(v\in\MKspan S+\MKspan T\) קיימים צירופים ליניאריים של \(S\) ושל \(T\) שסכומם הוא \(v\), כל סכום כזה הוא צר"ל של \(S\cup T\) ולכן \(\MKspan S+\MKspan T\subseteq\MKspan\left(S\cup T\right)\). לכל \(v\in S\) ולכל \(w\in T\) מתקיים \(v=v+0_{V}\) ו-\(w=0_{V}+w\) ולכן גם \(v,w\in\MKspan S+\MKspan T\), מכאן ש-\(S,T\subseteq\MKspan S+\MKspan T\) ולכן גם \(S\cup T\subseteq\MKspan S+\MKspan T\) וממילא \(\MKspan S+\MKspan T\supseteq\MKspan\left(S\cup T\right)\).
מסקנה 4.7. יהיו \(W,U\subseteq V\) תתי-מרחבים וקטוריים, מתקיים \(W+U=\MKspan\left(W\cup U\right)\).
\(\clubsuit\)
בפרט נובע מכאן שסכום של תתי-מרחבים וקטוריים הוא תמ"ו בעצמו.
\(\clubsuit\)
המשפט הזה מזכיר את עיקרון ההכלה וההדחה, זה לא מקרי, אנחנו נשתמש בו בהוכחה.
משפט 4.8. משפט הממדים נניח ש-\(V\) נ"ס ויהיו \(W,U\subseteq V\) תתי-מרחבים וקטוריים, מתקיים:\[
\dim\left(W+U\right)=\dim W+\dim U-\dim\left(W\cap U\right)
\]
הוכחה. נזכיר שמהגדרה מתקיים \(W\cap U\subseteq W\) ו-\(W\cap U\subseteq U\) ולכן נוכל להרחיב כל בסיס של \(W\cap U\) לבסיס של \(W\) ולבסיס של \(U\). נסמן \({\color{red}k}:=\dim{\color{red}W\cap U}\), \({\color{blue}n}:=\dim{\color{blue}W}-k\) ו-\({\color{green}m}:=\dim{\color{green}U}-k\) ויהיו \({\color{red}v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}},{\color{blue}w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}},{\color{green}u_{1},u_{2},\ldots,u_{m}}\in V\) כך שמתקיים:
\({\color{red}\MKclc_{1}}:=\left({\color{red}v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}}\right)\) הוא בסיס של \({\color{red}W\cap U}\)
\({\color{blue}\MKclc_{2}}:=\left({\color{red}v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}},{\color{blue}w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}}\right)\) הוא בסיס של \({\color{blue}W}\)
\({\color{green}\MKclc_{3}}:=\left({\color{red}v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}},{\color{green}u_{1},u_{2},\ldots,u_{m}}\right)\) הוא בסיס של \({\color{green}U}\)
הוכחה. נסמן \(\MKclb:=\left({\color{red}v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}},{\color{blue}w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}},{\color{green}u_{1},u_{2},\ldots,u_{m}}\right)\), מהמסקנה האחרונה (4.2) נובע ש-\(\MKclb\) פורש את \(W+U\), ולכן כל מה שנותר לנו הוא להוכיח ש-\(\MKclb\) בת"ל ואז נקבל:\[
\dim\left({\color{blue}W}+{\color{green}U}\right)={\color{red}k}+{\color{blue}n}+{\color{green}m}=\left({\color{red}k}+{\color{blue}n}\right)+\left({\color{red}k}+{\color{green}m}\right)-{\color{red}k}={\color{blue}\dim W}+{\color{green}\dim U}-{\color{red}\dim\left(U\cap W\right)}
\]יהיו \({\color{red}a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}},{\color{blue}b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}},{\color{green}c_{1},c_{2},\ldots,c_{m}}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
{\color{red}\sum_{i=1}^{k}a_{i}\cdot v_{i}}+{\color{blue}\sum_{j=1}^{n}b_{j}\cdot w_{j}}+{\color{green}\sum_{l=1}^{m}c_{l}\cdot u_{l}}=0_{V}
\]ונסמן:\[
{\color{red}v:=\sum_{i=1}^{k}a_{i}\cdot v_{i}},\ {\color{blue}w:=\sum_{j=1}^{n}b_{j}\cdot w_{j}},\ {\color{green}u:=\sum_{l=1}^{m}c_{l}\cdot u_{l}}
\]\[
\Rightarrow{\color{green}u}=-{\color{red}v}-{\color{blue}w}
\]כלומר \({\color{green}u}\in{\color{green}U}\) וגם \({\color{green}u}\in{\color{blue}W}\) וממילא \({\color{green}u}\in{\color{red}W\cap U}\). מכאן שניתן לבטא את \({\color{green}u}\) כצר"ל של \({\color{red}\MKclc_{1}}\) ולכן אם קיים \(m\geq l\in\MKnatural\) כך ש-\(c_{l}\neq0\) אז יש ל-\({\color{green}\MKclc_{3}}\) צר"ל מתאפס לא טריוויאלי, א"כ \(c_{l}=0\) לכל \(m\geq l\in\MKnatural\).\[
\Rightarrow{\color{red}\sum_{i=1}^{k}a_{i}\cdot v_{i}}+{\color{blue}\sum_{j=1}^{n}b_{j}\cdot w_{j}}=0_{V}
\]זהו צר"ל מתאפס של \({\color{blue}\MKclc_{2}}\), ולכן מהיותו בסיס נובע שזהו הצר"ל הטריוויאלי, כלומר \(a_{i}=0\) לכל \(k\geq i\in\MKnatural\) ו-\(b_{j}=0\) לכל \(n\geq j\in\MKnatural\). א"כ הוכחנו שהצר"ל המתאפס היחיד של \(\MKclb\) הוא הטריוויאלי ולכן \(\MKclb\) בת"ל.
משפט 4.9. אפיונים שקולים לסכום ישר נניח ש-\(V\) נ"ס ויהיו \(V_{1},V_{2},\ldots,V_{n}\subseteq V\) תמ"וים כך ש-\(V=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}\). כל אחד מהתנאים הבאים שקול לכך ש-\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\ldots\oplus V_{n}\):
לכל \(v\in V\) קיימת הצגה יחידה מהצורה \(\sum_{i=1}^{n}v_{i}\) כך ש-\(v_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
החיתוך של כל תמ"ו בסדרה עם הסכום של השאר הוא מרחב האפס.
שרשור15שרשור של סדרות \(\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\right)\), \(\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\right)\) ו-\(\left(c_{1},c_{2},\ldots,c_{m}\right)\) הוא סדרה כגון \(\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},b_{1},b_{2},\ldots,b_{n},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m}\right)\). בסיסים סדורים של כל אחד מתתי-המרחבים בסדרה הוא בת"ל.
מתקיים \(\dim V=\sum_{i=1}^{n}\dim V_{i}\).
הוכחה. \(\:\)
\(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח שלכל \(v\in V\) קיימת הצגה יחידה כנ"ל ותהא \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים כך ש-\(0_{V}\neq v_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\). נניח בשלילה שזוהי סדרה תלויה ליניארית ומכאן שיש לה צר"ל מתאפס לא טריוויאלי, א"כ יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך שלא כולם אפסים המקיימים:\[
\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=0_{V}
\]יהי \(n\geq k\in\MKnatural\) כך ש-\(a_{k}\neq0\), א"כ ניתן להציג את \(v_{k}\) בשתי צורות:\[
\sum_{i=1}^{k-1}0_{V}+v_{k}+\sum_{i=k+1}^{n}0_{V}=v_{k}=\sum_{i=1}^{k-1}-\frac{a_{i}}{a_{k}}\cdot v_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}-\frac{a_{i}}{a_{k}}\cdot v_{i}
\]בסתירה להנחה. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה וזוהי סדרה בת"ל.
\(\Rightarrow\) נניח שהסכום הנ"ל אכן ישר ויהי \(v\in V\), מהעובדה ש-\(V=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}\) נובע שאכן יש ל-\(v\) הצגה כנ"ל, נוכיח שהיא יחידה. יהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n},w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in V\) כך ש-\(v_{i},w_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ומתקיים:\[
v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}w_{i}
\]\[
\Rightarrow0_{V}=v-v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}-w_{i}
\]נניח בשלילה שקיים \(n\geq k\in\MKnatural\) כך ש-\(v_{k}\neq w_{k}\) וממילא \(v_{k}-w_{k}\neq0_{V}\), יהי \(k\) כנ"ל. יהיו \(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\in V\) כך ש-\(0_{V}\neq u_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ובנוסף \(u_{i}=v_{i}-w_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(v_{i}-w_{i}\neq0_{V}\). יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(a_{i}=1\) אם \(v_{i}-w_{i}\neq0_{V}\) ו-\(a_{i}=0\) אם \(v_{i}-w_{i}=0_{V}\), מכאן שמתקיים:\[
\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{n}v_{i}-w_{i}=0_{V}
\]אך זהו צר"ל מתאפס לא טריוויאלי שכן \(a_{k}\neq0\) בסתירה לכך ש-\(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בת"ל. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה - לא קיים \(n\geq k\in\MKnatural\) כך ש-\(v_{k}\neq w_{k}\), כלומר ההצגה של \(v\) אכן יחידה.
\(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח שהחיתוך של כל תמ"ו בסדרה עם הסכום של האחרים הוא מרחב האפס ותהא \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים כך ש-\(0_{V}\neq v_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\). סדרה זו מוכרחה להיות בת"ל משום שאחרת קיים \(n\geq k\in\MKnatural\) כך ש-\(v_{k}=-\left(\sum_{i=1}^{k-1}v_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}v_{i}\right)\), כלומר \(v_{k}\) שייך לסכום של כל תתי-המרחבים מלבד \(V_{k}\) וזאת בסתירה להנחה ולכך ש-\(v_{k}\neq0_{V}\).
\(\Rightarrow\) נניח שהסכום הנ"ל הוא סכום ישר, יהי \(n\geq k\in\MKnatural\) ויהא \(w\) וקטור בחיתוך של \(V_{k}\) עם הסכום של שאר תתי-המרחבים בסדרה, א"כ יהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k-1},v_{k+1},\ldots,v_{n}\in V\) כך ש-\(v_{i}\in V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq k\) ובנוסף מתקיים:\[
w=\sum_{i=1}^{k-1}v_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}v_{i}
\]מכאן ש-\(w\) ניתן להצגה כסכום של וקטור אחד מכל תמ"ו בשתי צורות: זו שלעיל (נבחר את \(0_{V}\) בתור הווקטור מ-\(V_{k}\)) וכמובן הצורה \(w=\sum_{i=1}^{k-1}0_{V}+w+\sum_{i=k+1}^{n}0_{V}\). מההנחה ומהסעיף הקודם נובע ששתי הצורות הללו הן למעשה צורה אחת, כלומר \(v_{i}=0_{V}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq k\) ו-\(w=0_{V}\), מכאן שהחיתוך של \(V_{k}\) עם הסכום של שאר תתי-המרחבים הוא מרחב האפס.
\(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח ששרשור בסיסים של כל תתי-המרחבים בסדרה הוא בת"ל, ממסקנה 4.2 נובע שכל שרשור בסיסים כזה גם פורש את \(V\) ולכן זהו בסיס של \(V\). ממשפט 3.4 נובע שלכל \(v\in V\) קיימת הצגה יחידה כצר"ל של שרשור הבסיסים, ולכן יש לו גם הצגה יחידה כסכום של וקטור אחד מכל תמ"ו בסדרה, מפני שע"פ אותה טענה כל וקטור באחד מתתי-המרחבים ניתן להצגה בצורה יחידה כצר"ל של הבסיס המתאים, וממילא ע"פ סעיף1זהו סכום ישר.
\(\Rightarrow\) נניח שזהו אכן סכום ישר, מסעיף1נובע שכל וקטור במרחב ניתן להצגה באופן יחיד כסכום של וקטור אחד מכל תמ"ו וממשפט 3.4 נובע שבכל תמ"ו כל וקטור כזה ניתן להצגה באופן יחיד כצר"ל של הבסיס הסדור המתאים, מכאן שכל וקטור במרחב ניתן להצגה באופן יחיד כצר"ל של שרשור הבסיסים ולכן מאותו משפט (בכיוון ההפוך) נובע ששרשור הבסיסים הוא בסיס של \(V\) ובפרט בת"ל.
סעיף זה נובע ישירות מהסעיף הקודם: אם מדובר בסכום ישר אז שרשור הבסיסים של תתי-המרחבים בסדרה הוא בסיס של \(V\) ולכן הממד של \(V\) הוא סכום האורכים של כל הבסיסים הללו - כלומר סכום הממדים של תתי-המרחבים, מצד שני אם \(\dim V=\sum_{i=1}^{n}\dim V_{i}\) אז שרשור הבסיסים הוא סדרה פורשת באורך הממד של \(V\) ולכן ממשפט 3.8 נובע שהיא גם בת"ל ולכן ע"פ הסעיף הקודם זהו סכום ישר.
4.3 ישריות
טענה 4.10. תהא \(S\subseteq V\) ישריה ויהיו \(W,U\subseteq V\) תתי-מרחבים ו-\(v_{1},v_{2}\in V\) כך ש-\(S=\left\{ v_{1}\right\} +W\) וגם \(S=\left\{ v_{2}\right\} +U\), מתקיים \(W=U\).
הוכחה. מהגדרה \(v_{1}\in S\) שכן \(0_{V}\in W\), מכאן שקיים \(u\in U\) כך ש-\(u+v_{2}=v_{1}\) וממילא \(v_{2}-v_{1}=-u\in U\). יהי \(w\in W\), מכאן ש-\(w+v_{1}\in S\) ולכן קיים \(u'\in U\) כך ש-\(u'+v_{2}=w+v_{1}\) וממילא \(w=u'+v_{2}-v_{1}=u'-u\in U\). א"כ \(W\subseteq U\) ובאותה צורה ניתן להוכיח ש-\(U\subseteq W\) (הטענה סימטרית לחלוטין), מכאן ש-\(W=U\).
טענה 4.11. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו ויהיו \(v_{1},v_{2}\in V\), מתקיים \(\left\{ v_{1}\right\} +W=\left\{ v_{2}\right\} +W\) אם"ם \(v_{1}-v_{2}\in W\).
הוכחה. את הגרירה מימין לשמאל כבר הוכחנו כחלק מההוכחה של הטענה הקודמת, נוכיח כעת את הכיוון ההפוך. נניח ש-\(v_{1}-v_{2}\in W\) ויהי \(u\in\left\{ v_{1}\right\} +W\), א"כ קיים \(w\in W\) כך ש-\(u=v_{1}+w\), מההנחה נובע שעבור אותו \(w\) מתקיים \(w':=v_{1}-v_{2}+w\in W\) וממילא גם \(u=v_{1}+w=v_{2}+w'\in\left\{ v_{2}\right\} +W\).
טענה 4.12. תהא \(S\subseteq V\) ישריה ויהיו \(W\subseteq V\) ו-\(v\in V\) כך ש-\(S=\left\{ v\right\} +W\), לכל \(u\in S\) מתקיים \(S=\left\{ u\right\} +W\).
הוכחה. יהי \(u\in S\) ויהי \(w\in W\) כך ש-\(u=v+w\), מכאן ש-\(u-v=w\) וע"פ הטענה הקודמת (4.6) מתקיים \(S=\left\{ v\right\} +W=\left\{ u\right\} +W\).
מסקנה 4.13. ישריה \(S\subseteq V\) היא תמ"ו אם"ם \(0_{V}\in S\).
מסקנה 4.14. תהיינה \(S_{1},S_{2}\subseteq V\) ישריות בעלות מרחב כיוונים זהה, אם \(S_{1}\neq S_{2}\) אז \(S_{1}\cap S_{2}=\emptyset\).
\(\clubsuit\)
מבחינה אינטואיטיבית זה ברור שישריות בעלות מרחב כיוונים זהה תהיינה שוות או זרות - אלו ישרים/מישורים מקבילים
טענה 4.15. תהיינה \(S_{1},S_{2}\subseteq V\) ישריות ויהיו \(W\) ו-\(U\) מרחבי הכיוונים שלהן (בהתאמה), אם \(S_{1}\cap S_{2}\neq\emptyset\) אז גם \(S_{1}\cap S_{2}\) היא ישריה ומרחב הכיוונים שלה הוא \(W\cap U\).
הוכחה. נניח ש-\(S_{1}\cap S_{2}\neq\emptyset\) ויהי \(v\in S_{1}\cap S_{2}\), מטענה 4.7 נובע כי \(\left\{ v\right\} +W\cap U\subseteq S_{1}\) וגם \(\left\{ v\right\} +W\cap U\subseteq S_{2}\) ולכן \(\left\{ v\right\} +W\cap U\subseteq S_{1}\cap S_{2}\). מצד שני ע"פ אותה טענה מתקיים \(S_{1}=\left\{ v\right\} +W\) ו-\(S_{2}=\left\{ v\right\} +U\), ולכן לכל \(v'\in S_{1}\cap S_{2}\) קיימים \(w\in W\) ו-\(u\in U\) כך ש-\(v'=v+w\) ו-\(v'=v+u\) וממילא אותם \(w\) ו-\(u\) שווים ובפרט נמצאים בחיתוך \(W\cap U\), כלומר לכל \(v'\in S_{1}\cap S_{2}\) קיים \(x\in W\cap U\) כך ש-\(v'=v+x\) ומכאן ש-\(\left\{ v\right\} +W\cap U\supseteq S_{1}\cap S_{2}\) וממילא \(\left\{ v\right\} +W\cap U=S_{1}\cap S_{2}\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );